中國(guó)近代革命志士秋瑾曾經(jīng)寫(xiě)下這樣的詩(shī)句：“拼將十萬(wàn)頭顱血，須把乾坤力挽回。”類(lèi)似的還有陳毅元帥當(dāng)年的“此去泉臺(tái)招舊部，旌旗十萬(wàn)斬閻羅”。文科生會(huì)說(shuō)這抒發(fā)了豪情，理科生會(huì)問(wèn)：拼將十萬(wàn)頭顱，就一定能把乾坤挽回么？——這里的“十萬(wàn)”當(dāng)然不是一個(gè)確數(shù)，但提出了一個(gè)有趣的問(wèn)題——人數(shù)的優(yōu)勢(shì)究竟在戰(zhàn)爭(zhēng)中占據(jù)什么樣的地位？
我們拋棄一切歷史和時(shí)代的背景，來(lái)單純地想象一場(chǎng)陣地戰(zhàn)：假定紅方與藍(lán)方（這里的紅方與藍(lán)方?jīng)]有特指，也無(wú)褒貶）都沒(méi)有飛機(jī)大炮，只使用同樣的步兵武器，掩體堅(jiān)固程度等客觀條件也差不多，且均在對(duì)方有效射程之內(nèi)；紅方不存在百發(fā)百中的神槍手，藍(lán)方也沒(méi)有沒(méi)放過(guò)槍的新兵蛋子。總之一句話，就是雙方半斤對(duì)八兩。唯一不同的是兵員數(shù)量——紅方有5,000人，藍(lán)方4,000人，紅方比藍(lán)方整多出1,000人。雙方開(kāi)打了，槍林彈雨，如此你來(lái)我往地掐將下去，誰(shuí)也不投降、不逃跑，最終結(jié)果會(huì)如何呢？由于紅方有“微弱”的數(shù)量?jī)?yōu)勢(shì)，藍(lán)方終將以被全殲而慘敗，這是比較合理的結(jié)果。我的問(wèn)題是，此時(shí)“慘勝”的紅方還能剩下多少人呢？對(duì)方既已全軍盡沒(méi)，損失當(dāng)然是4,000人，紅方是不是也一定付出了相同的代價(jià)呢？
1914年，英國(guó)有個(gè)叫做蘭切斯特（F. W. Lanchester）的，對(duì)類(lèi)似的問(wèn)題進(jìn)行過(guò)研究。他本人其實(shí)是個(gè)汽車(chē)工程師，然而使他青史留名的成就卻和汽車(chē)沒(méi)什么關(guān)系，而是蘭切斯特戰(zhàn)斗方程。
蘭切斯特的理論基于這樣一個(gè)假設(shè)：雙方在任一瞬間的戰(zhàn)斗損耗與對(duì)方此時(shí)的兵力成正比。如甲方兵力為x，乙方兵力為y，有如下微分方程①：
dx/dt=-ay,
dy/dt=-bx.
t表示時(shí)間；a、b均為比例常數(shù)，它們與雙方的武器效能及掩體等因素有關(guān)。簡(jiǎn)潔而優(yōu)美的方程揭示了這樣一個(gè)規(guī)律：交戰(zhàn)一方的有效戰(zhàn)斗力，正比于其戰(zhàn)斗單位數(shù)（戰(zhàn)斗單位，一般可以理解為參戰(zhàn)兵員數(shù)）的平方與每一戰(zhàn)斗單位平均戰(zhàn)斗力（可以理解為單位時(shí)間內(nèi)消滅對(duì)方兵員的能力）的乘積，即所謂蘭切斯特平方律（還有一個(gè)類(lèi)型就是蘭切斯特線性律，它適用于遠(yuǎn)距離戰(zhàn)斗，在此略過(guò)不提）。
如甲乙雙方初始兵力為x0、y0，戰(zhàn)斗持續(xù)過(guò)程中任意瞬間的兵力由x（t）、y(t)表示（為簡(jiǎn)化計(jì)，假定雙方實(shí)力相同，即a = b，可將“每一戰(zhàn)斗單位平均戰(zhàn)斗力”略去），則很容易推導(dǎo)出如下等式②：
x02 – y02 = x(t)2 – y(t)2
也就是說(shuō)，只要戰(zhàn)前有x0 > y0，戰(zhàn)局的必然結(jié)果就是乙方被全殲，即y最終變?yōu)?，甲方剩余人數(shù)當(dāng)然就是x = sqrt(x02-y02)（sqrt為取平方根）。
由此，蘭切斯特方程第一次以定量的方式論證了“集中優(yōu)勢(shì)兵力打殲滅戰(zhàn)”的正確性。蘭切斯特采用下述例子說(shuō)明平方律符合集中優(yōu)勢(shì)兵力的作戰(zhàn)原則：“如果甲方1,000人與乙方1,000人交戰(zhàn)，雙方單個(gè)戰(zhàn)斗單位的平均戰(zhàn)斗力相同，但甲方被乙方分割成各500人的兩半。假定乙方先以1,000人攻擊甲方的500人，則乙方將以損失134人的代價(jià)全殲甲方的一半；接著乙方以剩下的866人再全殲甲方的另一半，甲方在這兩次戰(zhàn)斗中將總共損失293人。”——我們的毛主席就是運(yùn)用這一戰(zhàn)法的大師。
再回到開(kāi)始的假設(shè)：紅藍(lán)雙方實(shí)力不相上下，即a = b；由等式②可以計(jì)算出，紅方在將藍(lán)方趕盡殺絕之后，還能剩下sqrt(5,0002-4,0002) = 3,000人，而不是1,000人，紅方的數(shù)量?jī)?yōu)勢(shì)導(dǎo)致其損失遠(yuǎn)低于藍(lán)方。而藍(lán)方要想把紅方放倒，就必須采用某種方法分割紅方，以圖在局部取得數(shù)量?jī)?yōu)勢(shì)。
當(dāng)然，實(shí)際情況要比簡(jiǎn)化條件錯(cuò)綜復(fù)雜得多，不談?dòng)布绾危瑑H僅是無(wú)形的士氣就足以影響甚至決定戰(zhàn)局。但是，大量的事實(shí)證明，蘭切斯特方程具有很強(qiáng)的參考價(jià)值；尤其是一些局部戰(zhàn)斗的結(jié)果，更可能與之契合。假如一個(gè)黑幫老大被別人搶了地盤(pán)，他惱羞成怒，打算和對(duì)手在一個(gè)空曠的廢棄廠房或者倉(cāng)庫(kù)（電影里都這么干）里一決勝負(fù)。孫子曰：“夫未戰(zhàn)而廟算勝者，得算多也；未戰(zhàn)而廟算不勝者，得算少也”，所以 火拼之前，不妨先拿蘭切斯特方程算一算。假如對(duì)方用槍榴彈你用半自動(dòng)，武器效能是你的整4倍（此時(shí)的比例常數(shù)a、b不再相等了）；根據(jù)蘭切斯特平方律，你帶過(guò)去的小嘍羅數(shù)量至少得對(duì)方的2倍，才可以抵消對(duì)方的火力優(yōu)勢(shì)——也就是說(shuō)，十萬(wàn)頭顱是否夠用，得看雙方的所有因素對(duì)比，不能只看人數(shù)。
文/木舟子 來(lái)源：科學(xué)公園
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